Un matemático de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW), en Australia, ha revelado que una antigua piedra de arcilla podría ser el ejemplo más antiguo y completo de geometría aplicada.

El plan de campo del topógrafo del período de la Antigua Babilonia muestra que las matemáticas antiguas eran más avanzadas de lo que se pensaba.

Se trata de una piedra de arcilla de 3.700 años de antigüedad que ha estado oculta a la vista en un museo de Estambul (Turquía) durante más de un siglo que puede suponer los orígenes de la geometría aplicada, según publica en la revista ‘Foundations of Science’.

La piedra -conocida como Si.427– fue descubierta a finales del siglo XIX en lo que hoy es el centro de Irak, pero su importancia era desconocida hasta que hoy se ha revelado el trabajo detectivesco del científico de la UNSW.

Lo más emocionante es que se cree que Si.427 es el ejemplo más antiguo de geometría aplicada que se conoce y el estudio también revela una convincente historia humana de topografía.

“Si.427 data del periodo de la Antigua Babilonia (1900 a 1600 a.C.) -afirma en un comunicado el doctor Daniel Mansfield, investigador principal de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la UNSW-. Es el único ejemplo conocido de un documento catastral del periodo OB, que es un plano utilizado por los topógrafos para definir los límites de la tierra. En este caso, nos informa de los detalles legales y geométricos de un campo dividido tras la venta de una parte”.

Tabla trigonométrica

Se trata de un objeto significativo porque el agrimensor utiliza lo que hoy se conoce como “triples pitagóricos” para hacer ángulos rectos precisos.

“El descubrimiento y el análisis de la piedra tienen importantes implicaciones para la historia de las matemáticas -afirma el doctor Mansfield-. Por ejemplo, esto es más de mil años antes de que naciera Pitágoras”.

En 2017, el doctor Mansfield conjeturó que otro fascinante artefacto de la misma época, conocido como Plimpton 322, era un tipo único de tabla trigonométrica.

“En general, se acepta que la trigonometría -la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los triángulos- fue desarrollada por los antiguos griegos que estudiaban el cielo nocturno en el siglo II antes de Cristo -señala Mansfield-. Pero los babilonios desarrollaron su propia ‘proto-trigonometría’ alternativa para resolver problemas relacionados con la medición del suelo, no del cielo”.

Más antigua que la Plimpton 322

Se cree que la piedra revelada ahora existía incluso antes de Plimpton 322; de hecho, los problemas de topografía probablemente inspiraron a Plimpton 322. “Hay todo un zoológico de triángulos rectos con diferentes formas. Pero sólo un puñado muy pequeño puede ser utilizado por los topógrafos babilónicos. Plimpton 322 es un estudio sistemático de este zoo para descubrir las formas útiles”, añade.

Ya en 2017, el equipo especuló sobre la finalidad de la Plimpton 322, planteando la hipótesis de que era probable que tuviera algún propósito práctico, posiblemente utilizado para construir palacios y templos, construir canales o topografiar campos.

“Con esta nueva piedra, podemos ver por primera vez por qué se interesaban por la geometría: para establecer límites precisos de las tierras -afirma-. Se trata de un periodo en el que la tierra empieza a ser privada: la gente empezó a pensar en la tierra en términos de ‘mi tierra y tu tierra’, queriendo establecer un límite adecuado para tener relaciones de vecindad positivas. Y esto es lo que dice inmediatamente esta pieza. Es un campo que se divide, y se establecen nuevos límites”.

Incluso hay pistas ocultas en otros objetos de esa época sobre las historias que hay detrás de estos límites. “Otra piedra se refiere a una disputa entre Sin-bel-apli -un individuo prominente mencionado en muchas piedras, incluida la Si.427- y una rica terrateniente -precisa-. La disputa tiene que ver con unas valiosas palmeras datileras situadas en la frontera entre sus dos propiedades. El administrador local acepta enviar a un topógrafo para resolver la disputa. Es fácil ver cómo la precisión era importante para resolver las disputas entre individuos tan poderosos”.

El doctor Mansfield dice que la forma en que se hacen estos límites revela una verdadera comprensión geométrica. “Nadie esperaba que los babilonios utilizaran los triples pitagóricos de esta manera -reconoce-. Se trata de algo más parecido a las matemáticas puras, inspirado en los problemas prácticos de la época”.

Una forma sencilla de crear un ángulo recto exacto es hacer un rectángulo con los lados 3 y 4, y la diagonal 5. Estos números especiales forman el “triple pitagórico” 3-4-5 y un rectángulo con estas medidas tiene ángulos rectos matemáticamente perfectos. Esto es importante para los topógrafos de la antigüedad y todavía se utiliza hoy en día.

“Los antiguos topógrafos que hicieron el Si.427 hicieron algo aún mejor: utilizaron una variedad de diferentes triples pitagóricos, tanto en forma de rectángulos como de triángulos rectos, para construir ángulos rectos precisos”, afirma Mansfield.

Sin embargo, es difícil trabajar con números primos mayores de 5 en el sistema numérico babilónico de base 60. “Esto plantea un problema muy particular: su sistema numérico único de base 60 significa que sólo se pueden utilizar algunas formas pitagóricas -explica-. Parece que el autor de Plimpton 322 recorrió todas estas formas pitagóricas para encontrar estas útiles. Esta comprensión profunda y altamente numérica del uso práctico de los rectángulos se gana el nombre de ‘proto-trigonometría’, pero es completamente diferente a nuestra trigonometría moderna”.

Desenterrada en una antigua expedición

El doctor Mansfield se enteró de la existencia de Si.427 cuando leyó sobre ella en los registros de las excavaciones: la tablilla fue desenterrada durante la expedición de Sippar de 1894, en lo que hoy es la provincia de Bagdad, en Irak. El informe decía que la piedra de arcilla había ido a parar al Museo Imperial de Constantinopla, un lugar que obviamente ya no existe.

“A partir de esa información, emprendí una búsqueda para localizarla, hablando con muchas personas en los ministerios y museos del gobierno turco, hasta que un día, a mediados de 2018, una foto de la Si.427 aterrizó finalmente en mi bandeja de entrada –explica–. Fue entonces cuando me enteré de que en realidad estaba expuesto en el museo. Incluso después de localizar el objeto, todavía tardé meses en comprender plenamente lo significativo que es, por lo que es realmente satisfactorio poder finalmente compartir esa historia”.

Ahora Mansfield espera encontrar qué otras aplicaciones tenían los babilonios para su proto-trigonometría. Sólo queda un misterio que el no ha desvelado: en el reverso de la piedra, en la parte inferior, aparece el número sexagesimal “25:29” en letra grande, es decir, 25 minutos y 29 segundos.

“No puedo entender qué significan estos números, es un absoluto enigma –admite–. Estoy deseando discutir cualquier pista con historiadores o matemáticos que puedan tener una corazonada sobre lo que estos números tratan de decirnos”.